ここからはこちらのベストアンサーの方の回答を解説します。

ベストアンサーの方の回答に倣って、まずは３人であいこになる確率から考えます。面倒なのでここではグーはG、チョキはC、パーはPと表記します。例として４人ともグーを出せば{G,G,G,G}とします。

３人であいこになるとすれば、以下の２パターンが考えられます。
i)３人とも同じ手を出す。
ii)３人の手がそれぞれ違う。
和の法則でi)とii)の確率を足せば答えが出ます。

i)はグー、チョキ、パーそれぞれに３人が同じ手の場合が考えられますから３パターンです。
ii)はベストアンサーの方の解説通りですが、あえて該当するパターンを数えるとすると
{G,C,P}
{G,P,C}
{C,G,P}
{C,P,G}
{P,G,C}
{P,C,G}
以上の６パターンです。
i)とii)を足せば3+6=9パターンで、全てのパターンは3の3乗で27パターンですから9/27=1/3が答えです。